你好，我是黄申。

上一节，我们讲了如何使用矩阵操作，实现基于用户或者物品的协同过滤。实际上，推荐系统是个很大的课题，你可以尝试不同的想法。比如，对于用户给电影评分的案例，是不是可以使用SVD奇异值的分解，来分解用户评分的矩阵，并找到“潜在”的电影主题呢？如果在一定程度上实现这个目标，那么我们可以通过用户和主题，以及电影和主题之间的关系来进行推荐。今天，我们继续使用MovieLens中的一个数据集，尝试Python代码中的SVD分解，并分析一些结果所代表的含义。

SVD回顾以及在推荐中的应用

在实现SVD分解之前，我们先来回顾一下SVD的主要概念和步骤。如果矩阵\(X\)是对称的方阵，那么我们可以求得这个矩阵的特征值和特征向量，并把矩阵\(X\)分解为特征值和特征向量的乘积。

假设我们求出了矩阵\(X\)的\(n\)个特征值\(λ\_1，λ\_2，…，λ\_n\)，以及这\(n\)个特征值所对应的特征向量\(v\_1，v\_2，…，v\_n\)，那么矩阵\(X\)可以表示为：

\(X=VΣV^{-1}\)

其中，\(V\)是这\(n\)个特征向量所组成的\(n×n\)维矩阵，而\(Σ\)是这\(n\)个特征值为主对角线的\(n×n\)维矩阵。这个过程就是特征分解（Eigendecomposition）。

如果我们会把\(V\)的这\(n\)个特征向量进行标准化处理，那么对于每个特征向量\(V\_i\)，就有\(||V\_{i}||\_{2}=1\)，而这表示\(V’\_iV\_i=1\)，此时\(V\)的\(n\)个特征向量为标准正交基，满足\(V’V=I\)， 也就是说，\(V\)为酉矩阵，有\(V’=V^{-1}\) 。这样一来，我们就可以把特征分解表达式写作：

\(X=VΣV'\)

可是，如果矩阵\(X\)不是对称的方阵，那么我们不一定能得到有实数解的特征分解。但是，SVD分解可以避免这个问题。

我们可以把\(X\)的转置\(X’\)和\(X\)做矩阵乘法，得到一个\(n×n\)维的对称方阵\(X’X\)，并对这个对称方阵进行特征分解。分解的时候，我们得到了矩阵\(X’X\)的\(n\)个特征值和对应的\(n\)个特征向量\(v\)，其中所有的特征向量叫作\(X\)的右奇异向量。通过所有右奇异向量我们可以构造一个\(n×n\)维的矩阵\(V\)。

类似地，如果我们把\(X\)和\(X’\)做矩阵乘法，那么会得到一个\(m×m\)维的对称方阵\(XX’\)。由于\(XX’\)也是方阵，因此我们同样可以对它进行特征分解，并得到矩阵\(XX’\)的\(m\)个特征值和对应的\(m\)个特征向量\(u\)，其中所有的特征向量向叫作\(X\)的左奇异向量。通过所有左奇异向量我们可以构造一个\(m×m\)的矩阵\(U\)。

现在，包含左右奇异向量的\(U\)和\(V\)都求解出来了，只剩下奇异值矩阵\(Σ\)了。\(Σ\)除了对角线上是奇异值之外，其他位置的元素都是0，所以我们只需要求出每个奇异值\(σ\)就可以了。之前我们已经推导过，\(σ\)可以通过两种方式获得。第一种方式是计算下面这个式子：

\(σ\_i=\\frac{X\_{v\_{i}}}{u\_{i}}\)

其中\(v\_i\)和\(u\_i\)都是列向量。一旦我们求出了每个奇异值\(σ\)，那么就能得到奇异值矩阵\(Σ\)。

第二种方式是通过\(X’X\)矩阵或者\(XX’\)矩阵的特征值之平方根，来求奇异值。计算出每个奇异值\(σ\)，那么就能得到奇异值矩阵\(Σ\)了。

通过上述几个步骤，我们就能把一个\(mxn\)维的实数矩阵，分解成\(X=UΣV’\)的形式。那么这种分解对于推荐系统来说，又有怎样的意义呢？

之前我讲过，在潜在语义分析LSA的应用场景下，分解之后所得到的奇异值\(σ\)，对应一个语义上的“概念”，而\(σ\)值的大小表示这个概念在整个文档集合中的重要程度。\(U\)中的左奇异向量表示了每个文档和这些语义“概念”的关系强弱，\(V\)中的右奇异向量表示每个词条和这些语义“概念”的关系强弱。

最终，SVD分解把原来的“词条-文档”关系，转换成了“词条-语义概念-文档”的关系。而在推荐系统的应用场景下，对用户评分矩阵的SVD分解，能够帮助我们找到电影中潜在的“主题”，比如科幻类、动作类、浪漫类、传记类等等。

分解之后所得到的奇异值\(σ\)对应了一个“主题”，\(σ\)值的大小表示这个主题在整个电影集合中的重要程度。\(U\)中的左奇异向量表示了每位用户对这些“主题”的喜好程度，\(V\)中的右奇异向量表示每部电影和这些“主题”的关系强弱。

最终，SVD分解把原来的“用户-电影”关系，转换成了“用户-主题-电影”的关系。有了这种新的关系，即使我们没有人工标注的电影类型，同样可以使用更多基于电影主题的推荐方法，比如通过用户对电影主题的评分矩阵，进行基于用户或者电影的协同过滤。

接下来，我会使用同样一个MovieLens的数据集，一步步展示如何通过Python语言，对用户评分的矩阵进行SVD分解，并分析一些结果的示例。

Python中的SVD实现和结果分析

和上节的代码类似，首先我们需要加载用户对电影的评分。不过，由于非并行SVD分解的时间复杂度是3次方数量级，而空间复杂度是2次方数量级，所以对硬件资源要求很高。这里为了节省测试的时间，我增加了一些语句，只取大约十分之一的数据。

import pandas as pd
from numpy import *


# 加载用户对电影的评分数据
df_ratings = pd.read_csv("/Users/shenhuang/Data/ml-latest-small/ratings.csv")


# 获取用户的数量和电影的数量，这里我们只取前1/10来减小数据规模
user_num = int(df_ratings["userId"].max() / 10)
movie_num = int(df_ratings["movieId"].max() / 10)


# 构造用户对电影的二元关系矩阵
user_rating = [[0.0] * movie_num for i in range(user_num)]


i = 0
for index, row in df_ratings.iterrows():   # 获取每行的index、row


  # 由于用户和电影的ID都是从1开始，为了和Python的索引一致，减去1
  userId = int(row["userId"]) - 1
  movieId = int(row["movieId"]) - 1


  # 我们只取前1/10来减小数据规模
  if (userId >= user_num) or (movieId >= movie_num):
    continue


  # 设置用户对电影的评分
  user_rating[userId][movieId] = row["rati

之后，二维数组转为矩阵，以及标准化矩阵的代码和之前是一致的。

# 把二维数组转化为矩阵
x = mat(user_rating)


# 标准化每位用户的评分数据
from sklearn.preprocessing import scale


# 对每一行的数据，进行标准化
x_s = scale(x, with_mean=True, with_std=True, axis=1)
print("标准化后的矩阵：", x_s

Python的numpy库，已经实现了一种SVD分解，我们只调用一个函数就行了。

# 进行SVD分解
from numpy import linalg as LA


u,sigma,vt = LA.svd(x_s, full_matrices=False, compute_uv=True)
print("U矩阵：", u)
print("Sigma奇异值：", sigma)
print("V矩阵：", vt)

最后输出的Sigma奇异值大概是这样的：

Sigma奇异值： [416.56942602 285.42546812 202.25724866 ... 79.26188177  76.35167406 74.96719708]

最后几个奇异值不是0，说明我们没有办法完全忽略它们，不过它们相比最大的几个奇异值还是很小的，我们可以去掉这些值来求得近似的解。

为了验证一下SVD的效果，我们还可以加载电影的元信息，包括电影的标题和类型等等。我在这里使用了一个基于哈希的Python字典结构来存储电影ID到标题和类型的映射。

# 加载电影元信息
df_movies = pd.read_csv("/Users/shenhuang/Data/ml-latest-small/movies.csv")
dict_movies = {}


for index, row in df_movies.iterrows():   # 获取每行的index、row
  dict_movies[row["movieId"]] = "{0},{1}".format(row["title"], row["genres"])
print(dict_movies)

我刚刚提到，分解之后所得到的奇异值\(σ\)对应了一个“主题”，\(σ\)值的大小表示这个主题在整个电影集合中的重要程度，而V中的右奇异向量表示每部电影和这些“主题”的关系强弱。所以，我们可以对分解后的每个奇异值，通过\(V\)中的向量，找找看哪些电影和这个奇异值所对应的主题更相关，然后看看SVD分解所求得的电影主题是不是合理。比如，我们可以使用下面的代码，来查看和向量\(Vt1\),相关的电影主要有哪些。

# 输出和某个奇异值高度相关的电影，这些电影代表了一个主题
print(max(vt[1,:]))
for i in range(movie_num):
    if (vt[1][i] > 0.1):
        print(i + 1, vt[1][i], dict_movies[i + 1])

需要注意的是，向量中的电影ID和原始的电影ID差1，所以在读取dict_movies时需要使用(i + 1)。这个向量中最大的分值大约是0.173，所以我把阈值设置为0.1，并输出了所有分值大于0.1的电影，电影列表如下：

0.17316444479201024
260 0.14287410901699643 Star Wars: Episode IV - A New Hope (1977),Action|Adventure|Sci-Fi
1196 0.1147295905497075 Star Wars: Episode V - The Empire Strikes Back (1980),Action|Adventure|Sci-Fi
1198 0.15453176747222075 Raiders of the Lost Ark (Indiana Jones and the Raiders of the Lost Ark) (1981),Action|Adventure
1210 0.10411193224648774 Star Wars: Episode VI - Return of the Jedi (1983),Action|Adventure|Sci-Fi
2571 0.17316444479201024 Matrix, The (1999),Action|Sci-Fi|Thriller
3578 0.1268370902126096 Gladiator (2000),Action|Adventure|Drama
4993 0.12445203514448012 Lord of the Rings: The Fellowship of the Ring, The (2001),Adventure|Fantasy
5952 0.12535012292041953 Lord of the Rings: The Two Towers, The (2002),Adventure|Fantasy
7153 0.10972312192709989 Lord of the Rings: The Return of the King, The (2003),Action|Adventure|Drama|Fantasy

从这个列表可以看出，这个主题是关于科幻或者奇幻类的动作冒险题材。

使用类似的代码和同样的阈值0.1，我们来看看和向量\(Vt5\),相关的电影主要有哪些。

# 输出和某个奇异值高度相关的电影，这些电影代表了一个主题
print(max(vt[5,:]))
for i in range(movie_num):
    if (vt[5][i] > 0.1):
        print(i + 1, vt[5][i], dict_movies[i + 1])

电影列表如下：

0.13594520920117012
21 0.13557812349701226 Get Shorty (1995),Comedy|Crime|Thriller
50 0.11870851441884082 Usual Suspects, The (1995),Crime|Mystery|Thriller
62 0.11407971751480048 Mr. Holland's Opus (1995),Drama
168 0.10295400456394468 First Knight (1995),Action|Drama|Romance
222 0.12587492482374366 Circle of Friends (1995),Drama|Romance
261 0.13594520920117012 Little Women (1994),Drama
339 0.10815473505804706 While You Were Sleeping (1995),Comedy|Romance
357 0.11108191756350501 Four Weddings and a Funeral (1994),Comedy|Romance
527 0.1305895737838763 Schindler's List (1993),Drama|War
595 0.11155774544755555 Beauty and the Beast (1991),Animation|Children|Fantasy|Musical|Romance|IMAX

从这个列表可以看出，这个主题更多的是关于剧情类题材。就目前所看的两个向量来说，SVD在一定程度上区分了不同的电影主题，你也可以使用类似的方式查看更多的向量，以及对应的电影名称和类型。

总结

在今天的内容中，我们回顾了SVD奇异值分解的核心思想，解释了如何通过\(XX’\)和\(X’X\)这两个对称矩阵的特征分解，求得分解后的\(U\)矩阵、\(V\)矩阵和\(Σ\)矩阵。另外，我们也解释了在用户对电影评分的应用场景下，SVD分解后的\(U\)矩阵、\(V\)矩阵和\(Σ\)矩阵各自代表的意义，其中\(Σ\)矩阵中的奇异值表示了SVD挖掘出来的电影主题，\(U\)矩阵中的奇异向量表示用户对这些电影主题的评分，而\(V\)矩阵中的奇异向量表示了电影和这些主题的相关程度。

我们还通过Python代码，实践了这种思想在推荐算法中的运用。从结果的奇异值和奇异向量可以看出，SVD分解找到了一些MovieLens数据集上的电影主题。这样我们就可以把用户针对电影的评分转化为用户针对主题的评分。由于主题通常远远小于电影，所以SVD的分解也帮助我们实现了降低特征维度的目的。

SVD分解能够找到一些“潜在的”因素，例如语义上的概念、电影的主题等等。虽然这样操作可以降低特征维度，去掉一些噪音信息，但是由于SVD分解本身的计算量也很大，所以从单次的执行效率来看，SVD往往无法起到优化的作用。在这种情况下，我们可以考虑把它和一些监督式的学习相结合，使用一次分解的结果构建分类器，提升日后的执行效率。

思考题

刚才SVD分解实验中得到的\(U\)矩阵，是用户对不同电影主题的评分矩阵。请你使用这个\(U\)矩阵，进行基于用户或者基于主题（物品）的协同过滤。

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